6.1 引言
PID控制器 在许多设备中都有使用，包括 Moku 系列产品. Moku 提供独立的 PID 控制器以及集成的PID控制器作为其 激光锁频/稳频器 以及 锁相放大器. 本系列的最后一部分介绍了 Moku PID 框架的两个等效频域模型，允许用户在外部软件中对其控制回路进行建模。
部分1 建立传递函数的定义，并提供了构建控制回路框图以对复杂系统进行建模所需的组件。在 部分2 我们演示了如何使用反馈控制系统来抑制干扰或跟踪过程设定点。还讨论了与噪声传感器相关的复杂性。与开环系统不同，受反馈控制的设备有可能变得不稳定，并且性能和稳健性之间存在矛盾。最终，信号传播的延迟可能会施加最严格的限制。这些问题在 部分3在频域中，反馈系统的大多数参数都可以与其开环传递函数联系起来。 部分4 我们解释了如何测量这个重要数量，并提供了塑造它时经常使用的函数列表。 部分5 描述了一种避免执行器饱和的方法，并在此过程中介绍了对处理多个执行器有用的思想。我们的系列文章在第 6 部分以对 PID 控制器的研究结束。这种常见的控制架构通常从时域的角度来考虑；我们说明了互补的频域表示。
6.2 转换功能
PID 控制器的输出可以描述为独立路径（比例、积分、双积分和微分）的加权和。这产生了传递函数 H(s)，形式为
\（P + frac{K_I}{s} + frac{K_{I+}}{s^2} + K_Ds\）
或包括饱和项，
\（H（s）= P + frac{K_I}{s} frac{s}{（s-p_{IS}）} + frac{K_{I+}}{s^2} frac{s^2}{（s-p_{IS}）^2} + K_Ds frac{-p_{DS}}{（s-p_{DS}）}\）
\（= P + frac{K_I}{(s-p_{IS})} + frac{K_{I+}}{(s-p_{IS})^2} + K_Dsfrac{-p_{DS}}{(s-p_{DS})}\） （6.1）
频率响应可以通过代入该表达式得到 s = iω，在 Moku:Pro 上 i 是虚数单位， ω 角频率。可以通过消除不必要的项来对可用特征的子集进行建模。
表 6.1 描述了模型参数与提供给我们的仪器的值之间的关系。
表 6.1：模型参数。表格的第一部分列出了 Moku 仪器软件中配置的参数；后面是派生参数。
图 6.1：所有启用阶段的总和（虚线）给出了总体控制器响应（实线）。积分器和微分器的饱和度用虚线表示。用户定义的参数定义了各种贡献的相对大小。
图 6.1 说明了总响应如何由各贡献路径的总和给出。
6.3 零点、极点、增益
另一种方法是用零点、极点和总增益来描述响应，即
\（H（s）= K frac{（s-z_1）（s-z_2）ldots（s-z_N）}{（s-p_1）（s-p_2）ldots（s-p_N）}.\）（6.2）
这种描述可以通过对方程（6.1）的展开和简化来实现。在一般情况下，我们发现
\（H（s）=（P-K_Dp_{DS}）frac{（s-z_1）（s-z_2）（s-z_3）}{（s-p_{IS}）^2（s-p_{DS}）}，\）（6.3）
其中零点由方程的根给出
\（（P-K_Dp_{DS}）s^3+\）
\（（2K_Dp_{IS}p_{DS} + K_I – Pp_{DS} – 2Pp_{IS}）s^2+ % s^2\）
\（（-K_Dp_{IS}^2p_{DS} – K_Ip_{DS} – K_Ip_{IS} + K_{IP} + 2Pp_{DS}p_{IS} + Pp_{IS}^2)s+\）
\（（K_Ip_{DS}p_{IS} – K_{IP}p_{DS} – Pp_{DS}p_{IS}^2）=0。\）（6.4）
由于分析方法有些笨重，我们用数值方法求解该方程。
图 6.2：控制器响应，标出了极点和零点的频率。注意，50 Hz 附近的极点的重数为 2。
图 6.2 演示了如何用极点和零点而不是总和路径来表征图 6.1 中所示的响应。
6.4 与测量数据的比较
图 6.3 将我们的模型与使用 激光锁频/稳频器 的 Moku:Pro. 在感兴趣的频率范围内观察到了可接受的一致性。
图 6.3：模型与测量数据的比较。结果发现，最差情况下，一致性在 1 dB/3° 以内（如图所示），通常情况下，一致性会好一个数量级。
6.5 更准确的模型
由于数值原因， PID控制器 并不像上面所阐述的那样（参见（6.1））作为项的纯粹和来实现，而是作为形式为（P+I+D）×（P+I），在 Moku:Pro 上 P、我 以及 D 对应于比例、积分和微分项。除了产生双积分器 我×我 我们还意识到另外两个必须添加到我们的模型中的交叉项，通过
\(H^{prime}(s) = frac{1}{P}timesleft(P + frac{K_I}{(s-p_{IS})} + K_Dsfrac{-p_{DS}}{(s-p_{DS})}right)timesleft(P + frac{P}{K_I}frac{K_{I+}}{(s-p_{IS})}right)\)
\（= H（s）+ Pfrac {K_ {I +} / K_I}{（s-p_ {IS}）} + K_Dsfrac {-p_ {ds} {（s-p_ {DS}）}frac {K_ {I +} / K_I}{（s-p_ {IS}）}。）
就我们的极点-零点-增益模型而言，只需要修改零点。我们在（6.4）的左侧添加以下项
\（（PK_ {I +} / K_I – K_Dp_ {DS} K_ {I +} / K_I）s ^ 2 + \％s ^ 2 \）
\((K_Dp_{DS}p_IK_{I+}/K_I – Pp_{DS}K_{I+}/K_I – Pp_IK_{I+}/K_I)s+\)
\（（Pp_{DS}p_{I}K_{I+}/K_I）\）
附加条款仅在以下情况下有效： I+ 双积分器阶段已启动，并且在典型模型所需的精度水平下通常无关紧要。
6.6总结与结论
在本系列文章中，我们介绍了 PID 控制器 在发现 Moku 仪器。通常通过其时域行为进行描述，此示例很好地突出了两个域的互补性。该模型旨在在浮点软件中实现（MATLAB, Python 等）来帮助用户设计和分析他们的实验。该模型与测量数据非常吻合。然而，在需要最高精度的情况下，我们建议直接使用我们的 频率响应分析仪.
在整个本系列中，我们提供了频域控制的基本基础。从传递函数的定义开始，我们使用框图构建了反馈控制回路，并演示了信号在稳定状态下如何在回路中传播。这项工作引发了干扰抑制、设定点跟踪和稳定性等想法。最后，我们简要讨论了在形成开环传递函数时这些概念之间的相互作用。在整个工作过程中，我们一直努力将数学细节保持在最低限度，特别是在与稳定性有关的问题上。寻求更详细和更严谨的读者将可以从下面引用的文献中受益。
案例
A. Abramovici 和 J. Chapsky， 反馈控制系统. 荷兰多德雷赫特：Springer，2000 年 XNUMX 月。
K. Ogata， 现代控制工程，第 5 版。新泽西州 Upper Saddle River：Pearson，2009 年 XNUMX 月。
