引言
互相关是信号处理中一种有用的技术，其本质是比较两个信号的相似性。该技术可以消除信号间不相关的（随机）噪声，从而降低整体噪声基底，使其适用于精确的相位噪声分析。此外，它还可用于时间上的信号匹配，因为当两个信号重叠时会产生幅度最大值。这在雷达测量中确定距离或飞行时间，或将输入信号与已知模板进行比较等应用中具有重要价值。
在本应用笔记中，我们介绍了互相关的积分形式并探讨了其物理意义。然后，我们将该表达式离散化，并讨论其在信号处理应用中的用途。最后，我们提出了互功率谱密度的概念，它是频域中互相关的等效表达式。我们使用 Moku 示波器和频谱分析仪来演示该概念的几个示例。
时域互相关
积分形式
从数学角度来说，互相关定义为两个信号乘积的积分，然后进行归一化。通常，其中一个信号会有一个可变的时延 \(\tau\)，互相关就成为该时延的函数。根据信号幅度是相似还是相反，互相关函数也可以取正值或负值。首先考虑两个连续的任意函数 \(y(t)\) 和 \(x(t)\)，其中 \(x(t)\) 的复共轭表示为 \(x^*(t)\)。对一段时间 \(T\) 进行平均，得到时延 \(\tau\) 的函数：
\(R_{xy} = \frac{1}{T} \int^{T/2}_{T/2}{x^*(t)y(t+\tau)dt}\) (1)
假设 \(x(t)\) 和 \(y(t)\) 在周期 T 内是严格周期的，具有任意振幅，并且它们之间存在相位差。
\(x(t) = A \sin{(\omega t)}\) (2)
\(y(t) = B \sin{(\omega t + \phi)}\) (3)
注意，实函数（例如 \(x(t)\)）的复共轭是自等价的。因此，我们可以将 \(R_{xy}\) 的定义重写为：
\(R_{xy} = \frac{1}{T} \int^{T}_{0}{x^*(t)y(t+\tau)dt}\)
通过计算，我们可以代入公式（2）和（3）：
\(R_{xy} = \frac{AB}{T} \int^{T}_{0}{\sin{(\omega t)} \sin{(\omega t + \phi)} dt}\)
用复数形式重写：
\(R_{xy} = \frac{AB}{T} \int^{T}_{0}{ \left( \frac{e^{i \omega t} – e^{-i \omega t}}{2i} \right) \left( \frac{e^{i \omega (t + \tau) + \phi} – e^{-i \omega (t + \tau) – \phi}}{2i} \right) dt}\)
\(R_{xy} = \frac{-AB}{4T} \int^{T}_{0}{e^{i \omega (2t + \tau) + \phi} – e^{-i \omega \tau – \phi} – e^{i \omega \tau + \phi} + e^{-i \omega (2t + \tau) – \phi} dt}\)
由于包含 t 的项是周期性的，因此对一个完整周期进行时间平均将得到零，只剩下两项：
\(R_{xy} = \frac{AB}{2} \left( \frac{e^{i(\omega \tau + \phi)} + e^{-i(\omega \tau + \phi)} }{2} \right) = \frac{AB}{2} \cos{(\omega \tau + \phi)}\)
相关函数取决于信号的时延和相位差。在零时延（\(\tau = 0\)）时，当\(\phi = 0\)时，函数完全相关；当\(\phi = 180\)时，函数完全反相关。当\(\phi = 90\)时，由于函数彼此反相，相关性趋于零（见图1）。
离散形式
对于数字采样数据（例如示波器采集的数据），上述公式必须离散化。假设两个采集到的频谱包含实数 \(x[t]\) 和 \(y[t]\)，其中 t 是数据点的索引。互相关函数的形式为：
\(R_{xy}[\tau] = \sum_t x[t] y[t+\tau]\)
其中参数 \(\tau\) 表示 x 和 y 之间的时间偏移量，以点数表示。
实际上，数据集 \(x[t]\) 和 \(y[t]\) 是有限的，因此函数随时间偏移的幅度也是有限的。偏移量过大时，数据集之间的重叠部分会缩小。例如，假设 \(x[t]\) 和 \(y[t]\) 各包含 1000 个点。虽然可以通过数学方法偏移 \(\tau = 999\) 个点，但此时每个数据集中只有 1 个点重叠，因此所得结果通常没有实际意义。
在这种情况下，通常的做法是采集比所需窗口大小更多的数据点。根据经验，轨迹的总长度应该是
\(N_{trace} = N_{window} + N_{lag, max} \)
这样可以确保相关函数被完全填充，而不会触及边缘。
为了比较振幅或相移，通常的做法是从波形中减去直流偏移，并按其均方根振幅进行归一化。因此，相关函数的完整形式为：
\(C_{xy}[\tau] = \frac{\sum_t{(x[t] – \bar{x})(y[t+\tau]-\bar{y}_m) }}{\sqrt{\sum_t{(x[t]-\bar{x})^2}} \sqrt{\sum_t{(y[t+\tau]-\bar{y}_m)^2}} }\)
其中 \(\bar{x}\) 和 \(\bar{y}_m\) 分别是 \(x[t]\) 和 \(y[t+\tau]\) 在重叠窗口内的均值。这给出了一个归一化相关性，其值始终介于 -1 和 +1 之间，与振幅无关。
使用 Moku 示波器测量互相关
我们首先在 Moku 上演示互相关运算，方法是从示波器获取波形，并使用 Python 脚本手动计算其互相关值。使用 Moku:Delta，我们将 OutputA 连接到 InputA，OutputB 连接到 InputB。然后，我们启动示波器模式，并使用内置波形发生器输出两个相位略有不同的匹配正弦波，如下图 1 所示。
现在我们改用 Python。我们通过配置示波器设置并采集波形来自动化测量过程。有关 Moku Python API 的信息，请参阅相关文档。每条波形包含 8192 个点，由 `set_timebase` 命令控制。为了验证脚本是否按预期采集了数据，我们将结果绘制在图 2 中。
接下来，我们通过创建一个函数来计算互相关图，该函数将每个向量按 N 个点进行切片，然后将剩余的数据相乘。根据上述 \(C_{xy}\) 的公式进行适当的归一化，我们得到如图 3 所示的图。
互相关图随延迟时间在 +1（完全相关）到 -1（完全反相关）之间振荡。延迟时间为零时，由于源信号正交，互相关值为 0；施加不同的相位偏移会使互相关图的值向左或向右移动。然而，只要输入信号是周期性的，互相关图就会保持周期性。该振荡周期约为 312 个采样点，这意味着将通道 B 上的信号移动 312 个采样点将由于信号的周期性而导致相同的互相关值。312 个采样点的具体数值取决于示波器的采样率和采集阵列的大小。
利用时间序列数据计算互谱
计算出时间序列数据的互相关后，我们可以使用相同的示波器配置来计算频域中的相关性。在频域中，该量通常称为互谱，有时也称为互功率谱密度，它提供了相关性在频域中分布的信息。首先，我们通过傅里叶变换将离散时间序列数据集 \(x[t]\) 和 \(y[t]\) 转换到频域。我们将这些量分别记为 \(X[f]\) 和 \(Y[f]\)。为了测量两个信号之间的相位关系，我们取 \(Y[f]\) 的复共轭，然后除以数据点数 N 进行归一化。这样我们就得到了一个单位为电压平方的量，从而可以将其与原始信号的功率谱进行比较，同时保留相位信息。互谱的方程如下：
\(S_{AB}(f) = \frac{X[f] \times Y^*[f]}{N^2}\)
请注意，上述量通常为复数。为了将其与其他频谱数据一起显示在 Moku 频谱分析仪中，我们取其幅值并将其转换为对数刻度，假设阻抗为 50 欧姆，并使用以下公式：
\(P_{dBm} = 10 \log_{10} \left( 0.001 \times \frac{|S_{AB}|}{50 \Omega}\right)\)
这样做会造成显示量中相位信息的丢失；然而，相位信息仍然保留在完整的复值表达式\(S_{AB}(f)\)中。正如下一节所述，这仍然是去除噪声和量化时间敏感信号的有效工具。
使用 Moku 频谱分析仪进行互相关分析
接下来，我们将通过一个简单的演示来测试使用 Moku:Pro 和 Moku:Delta 的互相关功能。对于互相关计算，我们使用 Moku:Delta 的频谱分析仪，并将其设置为单仪器模式，同时使用 Moku:Pro 生成信号。在 Moku:Pro 的多仪器模式下，我们将波形发生器放置在插槽 1，示波器放置在插槽 2，如图 4 所示。这样，我们可以同时在时域监测波形发生器的输出，而 Delta 则可以同时监测频域信号。
打开波形发生器，我们生成两个频率为 50 MHz、相位差为 90° 的正弦波。同步相位后，切换到示波器观察时域信号。如图 5 所示，两个信号的幅度匹配，但存在相位差。
现在我们切换到频谱分析仪，在20 MHz的频域范围内观察信号，如图6所示。由于两个信号源自同一信号源，因此它们看起来很相似——都具有相同的杂散和其他数字生成信号的特征。启用数学通道和互相关功能后，我们可以看到噪声基底总体上有所降低，但主信号和杂散仍然保留。这与我们对互相关的理解一致，即不相关的特征被抑制，而每个信号的共同成分则被保留。
正如我们在上一节中确定的那样，该特征取计算出的互谱的幅度，并舍弃相位信息，这意味着两个信号之间 90° 的相位差不会被反映出来。
为了展示互相关如何确定两个信号的时间相似性，我们回到波形发生器，生成两个频率范围为 50 MHz 至 100 MHz 的啁啾脉冲。配置如图 7 所示。两个信号均从 50 MHz 开始，并在 5 ms 的时间内同步扫描。
观察 Moku 频谱分析仪的输出，我们发现两个信号在频域中均呈现平台状，在 50 MHz 以下和 100 MHz 以上均出现急剧下降。两次扫描结果几乎完全相同，在图中完美重叠，而计算得到的互相关结果表明，这两个信号在时间上也存在重叠。
我们通过反转其中一个线性调频信号的方向来展示互相关的实用性，在保持通道同步的前提下，在相同的时间段内将频率从 100 MHz 扫频至 50 MHz。在频域中，由于傅里叶变换不考虑扫频方向，因此结果看起来完全相同。如图 9 所示，输入 A 和 B 与之前的情况相同，在频谱分析仪屏幕上重叠。然而，互相关反映了这种变化，因为它取决于每个信号的瞬时频率。互相关曲线之前是一个平台，现在下降了约 30 dB，峰值仅出现在 75 MHz 附近。这是两个扫频信号相交的点，它们在频率上短暂重叠，然后继续沿相反方向扫描。
尽管频谱分析仪在频域工作，但添加互相关后可以有效地恢复其对时域特性的敏感性。仅凭幅度谱无法区分的信号，一旦考虑其时间重叠，即可清晰地区分。
结语
互相关提供了一种强大的方法来比较两个信号的相似性，剔除不相关的噪声，并高精度地提取时间或相位关系。
在本应用笔记中，我们首先给出了互相关的积分定义，并探讨了其物理意义。然后，我们研究了互功率谱密度，它是互相关的频域对应物。最后，我们使用 Moku 示波器和频谱分析仪演示了这些概念在实际测量中的应用。这些工具共同展示了互相关技术如何在各种应用中提高测量精度。
