量子系统中量子比特状态的可视化和表征

In 部分1 在本白皮书中，我们介绍了被称为量子比特的两级量子系统，它广泛应用于从量子计算到磁场传感等各种领域。我们研究了一些量子比特的物理实现示例，以及通用两级量子系统的结构。

在第二部分中，我们将介绍量子比特状态的图形表示，即布洛赫球体。我们还将利用该模型演示如何在 Moku 等可重构硬件上实现 Rabi、Ramsey 和 CPMG 等常见脉冲序列，从而从这些量子比特中提取关键信息。 

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布洛赫球

为了直观地展现二能级量子系统的状态和时间演化，我们引入了一个称为布洛赫球的实用工具。布洛赫球最初是为了描述经典核自旋系综的行为而开发的，后来成为了表示二能级量子态的标准方法。

想象一个单位球体，其表面有一个从原点指向某一点的矢量。该矢量对应于量子比特的状态。例如，经典状态∣0⟩和∣1⟩分别位于球体的南北极（即z轴上的+1和-1），而任何纯叠加态都位于球体表面的南北两极[3]。图2中可以看到几个示例。

现在，这种表示方法存在一个小问题。这些图像显示了特定时刻的量子态，但它们并没有捕捉到状态是如何演化的。正如我们之前推导的，像 \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0 \rangle + | 1 \rangle \right) \) 这样的叠加态会以频率 \(\omega\) 绕 z 轴进行进动。这很令人头疼——持续的旋转会使追踪长协议或门序列中的状态演化变得困难。

为了解决这个问题，我们将坐标变换到以 \(\omega\) 旋转的旋转参考系中。在这个旋转参考系中，进动消失，因此稳态叠加态保持稳态，布洛赫矢量看起来固定不变。这使得分析量子比特动力学变得更加容易。

不幸的是，现实世界的量子系统并非永远保持完美的叠加态。随着时间的推移，与环境的相互作用会导致量子比特失去相干性，并放松回到平衡态。布洛赫球为我们描绘了一个理想的、孤立量子比特的完美几何图像，而真实的系统会随着信息的丢失而逐渐偏离球体表面。这些描述统计不确定性或相干性丧失的混合态，落在球体内部，而不是球体表面。

有两个关键的时间尺度可以体现这种行为：

T₁ (能量弛豫时间): 量子比特从激发态∣1⟩松弛到基态∣0⟩的时间尺度。这导致布洛赫矢量向北极倾斜。

T₂ (失相或相干时间)：由于环境波动，∣0⟩ 和 ∣1⟩ 之间的相对相位在时间尺度上变得混乱。这会导致布洛赫矢量向 z 轴收缩。注意，这是 固有 失相时间，我们将其与通常用 \(T^*_2\) 表示的失相时间区分开来，我们稍后会介绍后者。

这些过程共同作用，使量子比特的状态从纯态（球体表面）转变为混合态（球体内部）。当量子比特完全退相干时，它不再携带有用的量子信息。

当量子比特未被主动驱动时（参见下一部分），存在退相干/失相时的系统动力学可用布洛赫方程来描述：

\（\frac{dx}{dt} = -\frac{1}{T_2}x\）

\（\frac{dy}{dt} = -\frac{1}{T_2}y\）

\(\frac{dz}{dt} = -\frac{1}{T_1}(z-z_\infty)\)

这里，x、y、z 是状态向量的分量：x 和 y 描述横向平面的相干性，z 是∣0⟩ 和∣1⟩ 之间的粒子数差，z_∞ = +1 对应于热平衡态（即∣0⟩中的满布居）。在下一节中，我们将展示如何使用外部驱动场相干地操控量子比特，使其围绕布洛赫球的不同轴旋转，从而实现量子协议。

添加驱动器

任何类型的量子比特应用，无论是传感还是计算，都需要能够根据指令操控量子比特的状态。这使得用户能够测量量子比特的质量（通过T₁ 和T₂ 测量）并执行更复杂的门序列。为此，我们施加另一个振荡电磁场，其传播方向沿 x 轴定义。如果该驱动场的频率与两能级之间的能量差 \(\omega_0\) 匹配，我们称它与两能级系统共振，这将导致量子态在 0 和 1 之间振荡，其频率由驱动场的振幅决定。

我们可以将此字段写为

\（\widehat{H}_{drive}=\frac{\hbar \Omega}{2}\cos{(\omega_0 t + \phi)}\widehat{\sigma}_x\） (4)¹

让我们来解析几个关键特性。\frac{\hbar \Omega}{2}\ 表示驱动信号的功率，但与公式 2 中的哈密顿量一样，我们通常将其表示为频率，最终得到拉比频率，即驱动场使系统在 0 和 1 之间翻转的速度。请注意，该值与驱动场本身的频率不同（通常比其小几个数量级）。算符 \widehat{\sigma}_x\ 是另一个泡利矩阵，表示系统绕实验室参考系的 x 轴被驱动。值 \omega_0\ 和 \phi\ 分别是驱动场的频率和相位。需要注意的是，在两能级系统中，驱动场可能处于非共振状态，但这里我们研究的是共振状态。
与布洛赫球一样，为了简化系统动力学，我们将其移至频率为 \(\omega_0\) 的旋转坐标系。该旋转坐标系与量子比特的自然进动同步移动，并消除了余弦项的快速时间依赖性。在该坐标系中，泡利矩阵变换为：

\（\sigma_x \rightarrow \cos{(\omega_0 t)} \sigma_x + \sin{(\omega_0 t)} \sigma_y\）

这里我们省略详细的数学计算，但其效果如下：当将哈密顿量变换到旋转坐标系中时，它会产生一些随时间缓慢变化的项，这些项的振荡频率为 \((\omega \approx 0)\)，而另一些项的振荡频率为 \((\omega \approx 2\omega_0)\)，这些项的振荡频率非常快。通过应用旋转波近似（RWA），这是量子光学和控制中的一种标准简化方法，我们可以舍弃这些快速振荡的项，因为它们的效应在感兴趣的时间尺度上平均为零。由此得到的旋转坐标系中的有效哈密顿量为：

\（\widehat{H}_{drive,RWA}=\frac{\hbar \Omega}{2} \left( \cos{( \phi)}\widehat{\sigma}_x + \sin{( \phi)}\widehat{\sigma}_y \right)\) (5)

这描述了旋转坐标系中较慢的旋转，其中旋转轴位于 x-y 平面，并由驱动器的相位 ϕ 控制。如果 ϕ = 0，则旋转纯粹围绕 x 轴；如果 ϕ = π/2，则旋转围绕 y 轴；依此类推。

拉比振荡

如上一节所述，施加驱动场会导致系统在量子态之间振荡。聪明的用户可以操纵驱动场持续时间和相位的参数，将状态向量旋转到他们选择的任意点。对这种行为最基本的测试之一是拉比振荡实验，该实验表明该系统的行为类似于真正的两能级量子系统。它通常遵循三个步骤，如图3所示：

第三步： 初始化量子位。这可以通过主动将量子位重置为零来完成，或者只需等待几个 T1 周期（前提是 T1 足够短）即可。

第三步： 施加一个拉比脉冲。沿 x 轴或 y 轴施加一个驱动场，持续时间为 T。该脉冲使状态向量在布洛赫球面上旋转。

第三步： 读出量子比特。拉比脉冲发出后，系统立即被测量。

实验重复进行，脉冲长度不断增加，使状态在∣0⟩和∣1⟩之间的叠加态范围内移动，最终回到∣0⟩。但请记住：量子测量只能返回0或1，永远不会返回“中间值”。为了构建有意义的状态图像，每个脉冲持续时间会重复多次（通常为数千次），以提取测量∣1⟩的概率。

长时间驱动系统会导致自旋退相干，或者用布洛赫球理论来说，自旋矢量会开始收缩回原点。这可以从图3中看到，系统逐渐无法完全回到∣1⟩或∣0⟩，最终陷入无序状态，没有任何有用的量子信息。

拉比测量中，典型的关注值是导致系统从0翻转到1（π脉冲）以及从0翻转到相等叠加态（π/2脉冲）的驱动脉冲的长度。确定这些值后，就可以得到更复杂的脉冲序列，我们将在下一节中进行探讨。

Ramsey 和 CPMG 序列

掌握了π和π/2脉冲长度的知识后，我们现在可以开始量化相干时间了。第一个测试是测量叠加态量子比特能够保留其相位信息的时间，这个过程称为拉姆齐干涉法。与拉比序列一样，我们总是从一个初始化为基态∣0⟩的量子比特开始。π/2脉冲将状态从+z旋转到xy平面，形成50/50的叠加态。在此之后，我们让状态自由演化τ时间。根据布洛赫方程，由于退相干(\(T_2\))，状态向量将开始收缩回零。然而，还有另一个过程发生在更快的时间尺度上。由于环境因素的影响，例如磁场涨落或微小失谐（即驱动频率偏离共振频率），状态向量将开始绕z轴旋转，脆弱的量子态将受到破坏。这种现象被称为失相。我们并没有刻意让量子比特进行进动，但这些随机波动无论如何都会积累相位。

为了检测累积相位，我们将量子比特的状态投射回测量轴。这通过施加第二个π/2脉冲来实现，该脉冲将x-y平面的相移转换为沿z轴可测量的粒子数差。如果没有失相，这将导致量子比特处于∣1⟩状态。如图4所示，当你以不同的自由演化时间τ重复拉姆齐序列，并测量量子比特处于∣1⟩状态的概率时，你会观察到一个振荡信号，该信号由驱动信号的失谐和真实的量子比特共振决定[4]。这些振荡以指数包络为界，反映了相干性随时间的变化，并以失相时间\(T_2^*\)为特征。

这些测量通常针对每个 τ 值重复数千次，并且得到的数据点形成衰减至 0 的余弦信号。拟合此包络可直接测量 \(T_2^*\)，其中包括固有退相干和低频噪声（例如，磁场或量子比特频率的缓慢漂移）。

虽然拉姆齐序列提供了一种测量量子比特失相时间的有效方法，但该值既包括固有的退相干，也包括缓慢、可逆的噪声源，如低频磁场漂移，并不是“真正的”T₂如布洛赫方程所示。为了分离量子比特的固有相干时间，我们可以应用自旋回波或卡尔-珀塞尔-迈布姆-吉尔 (CPMG) 序列。这些技术的起始过程与拉姆齐序列类似，但在自由演化期间以精确的间隔插入额外的 π 脉冲。每个 π 脉冲都会围绕 x 轴或 y 轴翻转状态向量，从而反转相位累积的方向，并有效抵消缓慢波动带来的误差。这些脉冲可以重复数十次甚至数百次，π 脉冲序列的长度和间隔决定了有效抑制的环境噪声频率范围。其结果是相干性衰减得更慢，使我们能够测量固有的 T₂ 该系统，对于需要持续量子控制的应用来说，是一个更有意义的基准。图5为CPMG序列示例。

进行计算和传感实验

我们描述的序列：Rabi、Ramsey 和 CPMG，构成了用于评估所有量子平台量子比特质量的标准化工具箱的一部分。特别是 Rabi 和 Ramsey 测量，通常会在不同的失谐量下重复进行，以帮助确定量子比特的精确谐振频率。一旦确定了该频率，下一个优先事项就是评估量子比特保持其状态的能力。长相干时间 (T₁ 和T₂) 至关重要，因为它们允许更长时间和更复杂的操作。

在量子计算中，量子比特操控是通过精确定时的脉冲（通常是π和π/2）来执行的，这些脉冲以受控的方式旋转状态向量。这些旋转通常被归类为称为量子门的标准操作。例如，阿达玛门将状态向量从+z方向（|0⟩）旋转到+x方向，可以通过围绕y轴发射π/2脉冲，然后围绕x轴发射π脉冲来实现。更高级的门，尤其是涉及两个量子比特的门，超出了本文的讨论范围，但其原理基本相同： 量子算法是通过应用引导量子比特围绕布洛赫球运动的脉冲序列来执行的。

在量子传感中，量子系统的弱点，即对环境噪声的敏感性，被转化为优势。在这里，脉冲序列通常更简单，并且经过精心设计，以允许量子比特与其环境进行交互。由于磁场或电场梯度导致的与预期行为的偏差，随后被解释为信号。

例如，如果已知直流磁场中的量子比特暴露于一个额外的未知磁场，这将改变其状态之间的能量分裂。结果，曾经谐振的驱动信号现在可能略微偏离谐振状态，导致量子比特在自由演化过程中积累不同的相位。通过在施加辅助场之前和之后进行拉姆齐测量，可以推断出这种相移，从而推断出未知场的强度。使用具有长相干时间的高质量量子比特，多次重复此过程，可以使量子传感器实现远超传统技术的测量精度。

在硬件中实现脉冲序列

本文描述的所有脉冲序列，无论是用于拉比振荡、拉姆齐干涉法还是 CPMG 相干性测量，最终都需要对量子比特进行精确的可编程控制。虽然脉冲的具体参数高度依赖于量子比特的选择，但其基本物理原理是相同的。本节我们将讨论使用 Moku 实现脉冲序列的几种不同方法。

超导量子比特通常由IQ调制的微波脉冲操控。任意波形发生器 (AWG) 产生低频或直流脉冲包络，称为基带。这些基带通过IQ混频器（数字或模拟）与高频本振相结合，产生幅度、频率和相位可调的微波脉冲。“I”和“Q”通道的相对幅度和时序控制最终脉冲在布洛赫球上的旋转轴和相位。脉冲形状通常为高斯形状，旨在实现最佳控制并最大程度地减少频谱泄漏。

在诸如囚禁离子或中性原子之类的光学量子比特平台中，脉冲控制通常使用声光调制器 (AOM) 来实现。AWG 产生的射频信号驱动 AOM，从而调制激光束的幅度、频率或相位。该装置可实现高速光门控，并精确控制时序和旋转角度，从而实现 π 和 π/2 脉冲等量子比特操作（见图 6）。

Moku 任意波形发生器作为可重构 Moku 平台上众多仪器之一，它使用户能够以超稳定的时钟精度和高度灵活的波形合成生成这些信号。它支持正弦波、高斯包络和完全自定义的波形，可以通过 .csv 文件上传或通过公式定义。在超导量子比特设置中，两个同步通道可用于 I 和 Q 控制；而在原子系统中，基带或调制射频输出可用于驱动声光调制器 (AOM)。任意波形发生器还提供多种触发选项，用于与其他设备同步序列，包括 TTL 输入和手动触发选项。

Moku 还提供许多其他软件定义的仪器来协助脉冲生成。用户可以使用 Moku 调试脉冲 示波器 以及 频谱分析仪，部署于 多仪器并行模式 用于实时查看时域和频域。示波器可以帮助用户确认跨多个输入通道的脉冲形状和时序，而频谱分析仪可以确保频率空间中没有失真或添加谐波。

虽然本白皮书未涉及，但脉冲通常在捕获后进行解调以确定量子比特状态，该状态通常编码在通常相干信号的相位中 - 例如反射的微波脉冲或调制的光电流。Moku 锁相放大器 由于本振 (LO) 与任意波形发生器共享系统时钟，因此增加了执行完美同步双相解调的能力，从而实现了微弧度级的精度。用户可以查看和输出 I 和 Q 方波，并直接从嵌入式示波器捕获数据轨迹，无需使用数字化仪。此外，I 和 Q 输出可以馈送到 Moku 云编译 用于后处理的模块，例如 箱车平均法 或抽取。参见图7，了解脉冲序列解调的示例。

通常，当通过 ADC 和 DAC 在模拟信号和数字信号之间进行转换时，信号经常会因谐波或杂散的增加而失真，因此适当的滤波对于量子实验至关重要。 数字滤波器 可以协助清理这些信号，允许用户编程不同的滤波器形状、功能和截止频率。数字滤波盒在多仪器模式下与其他仪器一起部署，可以接收来自模拟前端的输入信号，并对其进行预滤波，然后传递到锁相放大器进行解调。

Moku 还提供强大的 Python 以及 MATLAB 用于协调复杂实验、自动生成脉冲和收集数据轨迹以及参数扫描（例如 Ramsey 实验中的值）的 API。无需 SCPI 命令或常用 VISA 库即可将 Moku 集成到给定设置中——用户只需导入、连接和配置即可。

Moku 凭借其可重构的软件定义架构，可以根据实验需求的变化轻松地制作原型、调整和部署脉冲序列。

结语

在本白皮书中，我们以布洛赫球面作为可视化基础，讲解了两能级量子系统的基本物理原理。我们介绍了哈密顿量的形式和时间演化，讨论了现实世界系统如何通过能量弛豫和退相移等机制经历退相干，并探索了旋转框架和驱动场如何实现相干控制。在此基础上，我们介绍了用于表征和操控量子比特的基本脉冲序列，例如拉比脉冲序列、拉姆齐脉冲序列和 CPMG 脉冲序列。最后，我们展示了如何使用 Moku 任意波形发生器物理实现这些脉冲序列。这些工具共同构成了量子计算和量子传感的基础。

参考文献和脚注

[3] 为什么能量较低的状态位于顶部？这是从核磁共振（NMR）领域沿袭下来的惯例。通常，磁场被定义为沿+z轴运行，这意味着当矢量与+z轴对齐时，能量较低；而当矢量与+z轴反向对齐时，能量较高。

[4] 最初，量子比特的谐振频率通常是根据设备参数或校准数据估算的。拉姆齐干涉法提供了一种精确的方法，通过观察振荡频率与失谐量的关系来确定真实的谐振频率。