在本白皮书的第一部分，我们将介绍被称为量子比特的二能级量子系统，它广泛应用于从量子计算到磁场传感等多种领域。我们将通过几个示例来说明量子比特的物理实现方式，并介绍通用二能级量子系统的结构。
In 部分2中，我们引入了量子比特状态的图形表示，即布洛赫球。我们还利用该模型演示了如何在 Moku 等可重构硬件上实现 Rabi、Ramsey 和 CPMG 等常见脉冲序列，从而从这些量子比特中提取关键信息。
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什么是量子位？
量子比特（qubit）是量子计算、通信和传感的基本构建块。与经典比特类似，量子比特是一个物理系统，可以存在于两个不同的量子化状态中，分别对应经典的0和1。我们将这些量子态表示为∣0⟩和∣1⟩，这与该领域的大多数工作一致。就像晶体管中的0和1表示电流的存在与否一样，量子比特的状态对应于一些物理上可测量的参数，例如电子自旋或原子能级。正如我们将在下一节中看到的那样，量子特性意味着量子比特也可以存在于这两个状态的叠加态中。一个有用的量子比特的基本要求是[1]：
- 初始化，意味着量子位可以被设置或重置为 0 状态。
- 相干操控，利用微波或激光脉冲来驱动量子比特态。
- 读出，探测量子位的状态并传递给最终用户。
需要注意的是，即使处于叠加态，量子位在读出过程中也只能返回 0 或 1，这意味着需要多次重复给定实验才能确定状态的全貌。最后一节讨论脉冲序列时将进一步探讨这一点。
目前存在许多相互竞争的量子比特系统，每个系统都有各自的优缺点。虽然讨论特定量子比特原型的优点超出了本文的讨论范围，但以下是一些物理实现和物理量的示例：
超导传输量子比特通过在基板上图案化超导约瑟夫森结而形成。在这些系统中，∣0⟩和∣1⟩状态对应于非线性振荡器的两个最低能级，该能级由跨结的超导电流、电荷和相位的相互作用定义。
中性原子，由激光束和磁场组合固定。量子比特态是两个精心选择的原子能级，通常由磁场中的塞曼分裂或原子核与价电子之间的超精细相互作用定义。示例如图 1 所示。
固态量子比特例如金刚石中的氮空位 (NV) 中心，是通过在晶格空位附近引入供电子氮原子而产生的。当置于直流磁场中时，多个电子自旋态会通过塞曼效应分裂，并选定两个能级作为 ∣0⟩ 和 ∣1⟩。
在下一节中，我们介绍量子比特系统的数学描述。
二能级量子系统
为了直观地理解量子比特的行为方式，我们从一个所谓的两能级量子系统开始。如上所述，这可以是很多东西：电子的自旋、离子的两个超精细态，或者超导电路的两个最低能级。从物理上讲，这些系统差异很大，但它们都可以用同一个简单的模型来描述。使用量子物理学中常见的bra-ket符号，我们将这两个能级标记为：
|0⟩：较低能量状态（基态）
|1⟩：较高能量状态（激发态）
叠加态写成 |0⟩ 和 |1⟩ 的线性组合，其中 |𝜓⟩ 表示该叠加态。为了量化两种状态之间的混合程度，我们还引入了振幅 α 和 ꞵ。综合起来，任何可能的二能级系统状态都可以写成：
\(| \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle \) (1)
振幅遵循归一化条件 \(| \alpha |^2 + | \beta |^2 = 1\)，其中 \(| \alpha |^2 \) 和 \(| \beta |^2 \) 表示找到处于该状态的量子比特的概率。设 α = 1 且 β = 0 意味着系统完全存在于经典的 0 态，而 \(\alpha = \beta = 1/\sqrt{2}\) 表示两种状态各占一半的叠加态——系统在任一状态下被测量的概率相等。
注意，α和β可以是实数或复数，它们之间的相对相位在量子干涉和时间演化中起着至关重要的作用。这种形式描述的是所谓的纯态，但正如我们将看到的，与环境的相互作用可以迅速导致系统变得混合。
在下一节中，我们将介绍哈密顿量并了解它如何编码能级信息。
系统哈密顿量
在两能级量子系统中，这些能级之间的能量差通常用频率ℏω来表示，其中ℏ是约化普朗克常数，ω是被吸收或发射以在两个能级之间跃迁的电磁辐射的频率。该系统的动力学由一个非常简单的哈密顿量控制，如公式2所示。在量子力学中，算符（用符号上方的插入符号^表示）是一个数学对象，它作用于量子态，以改变或测量其某些属性，例如能量、位置或自旋。在哈密顿量中，它是系统的总能量。
\(\widehat{H} = \frac{-1}{2} ℏ ω_0 \widehat{σ}_z \) (2)
这里，\(\widehat{σ}_z\) 是泡利矩阵之一。泡利矩阵最初用于描述电子自旋，现在已成为描述任何二能级量子系统的通用基础。在这里，z 定义了量子化轴，即两个能级 ∣0⟩ 和 ∣1⟩ 沿着其分裂的轴。它编码了 ∣1⟩ 态的能量高于 ∣0⟩ 态的事实。
\(\widehat{σ}_z\) 对两个基态的作用是：
\(\widehat{σ}_z |0 \rangle = -|0\rangle, \widehat{σ}_z |1\rangle = | 1\rangle \)
这反映了两个能级之间的能量差，负号表示这两个状态位于量子化轴的两侧。在基于自旋的系统中（例如核磁共振或电子自旋量子比特），量子化轴通常由外部磁场设定，能级沿该轴分裂。在原子和超导量子比特中，量子化轴由其他系统特定因素定义。
现在让我们研究一下系统如何随着时间演变。
时间演变
量子系统是动态的，但到目前为止，我们只研究了系统在单个时间点的状态是如何定义的。我们将状态向量 |𝜓⟩ 替换为时间相关的 |𝜓(t)⟩，并引入著名的薛定谔方程，该方程描述了量子系统在给定其哈密顿量的情况下随时间的变化：
\（i\hbar\frac{\partial}{\partial t} | \psi(t)\rangle=\widehat{H} | \psi(t)\rangle\） (3)
本质上，应用哈密顿算子可以得到状态向量 |𝜓(t)⟩ 如何演化的信息。回顾我们的两级哈密顿量（公式 2），我们注意到 t 不会出现在其中的任何地方，这意味着我们的能级在时间上是固定的。在这种情况下，薛定谔方程有一个简单的解，描述状态如何从时间 \(i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left|\Psi(t)\right>=\widehat{H}\left|\Psi(t)\right>\) 演化到之后的时间 t [2]：
\（| \psi（t）\rangle = e^{\frac{- i \widehat{H} t}{\hbar}} | \psi（0）\rangle\）
对于我们特定的系统：
\（| \psi（t）\rangle = e^{\frac{- i \omega_0 t \widehat{\sigma}_z }{2}} | \psi（0）\rangle\）
虽然哈密顿量没有明确的时间依赖性，但由于这两个状态具有不同的能量，系统会随时间演化。至关重要的是，这种演化与物理系统无关：无论能量分裂是由磁场、超精细结构还是人工量子电路引起的。这使得我们的方程对任何双态量子系统都具有普适性。
让我们看看在两种不同的初始状态下，情况会如何。首先，我们从基态 ∣0⟩ 开始：
\(| \psi(0) \rangle = | 0 \rangle\)
应用时间演化算子：
\(| \psi(0) \rangle = e^{\frac{i \omega_0 t}{2}} | 0 \rangle\)
这只是一个随时间的全局相位变化，当我们读出量子位时没有可观察到的效果（回想一下，我们只观察到∣0⟩或∣1⟩，概率等于每个状态系数的模平方）。
现在我们来研究一下从相等叠加开始的情况：
\(| \psi(0) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( |0 \rangle + | 1 \rangle \right) \)
现在将时间演化算子应用到每个组件：
\(| \psi(t) \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\frac{- i \omega_0 t \widehat{\sigma}_z }{2}} \left( |0 \rangle + | 1 \rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} e^{\frac{i \omega_0 t}{2}} |0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}e^{\frac{-i \omega_0 t}{2}} |1 \rangle\)
这也可以写成：
\（| \psi（t）\rangle = \frac{e^{\frac{-i \omega_0 t}{2}}}{\sqrt{2}} \left（|0 \rangle + e^{i \omega_0 t}| 1 \rangle \right）\）
同样，全局相位 \(e^\frac{-i \omega_0 t}{2}\) 的实际值与物理无关，读出 ∣0⟩ 或 ∣1⟩ 的概率也不会随时间变化。但重要的是，∣0⟩ 和 ∣1⟩ 状态的相对相位会随时间以频率 \(\omega_0 \) 演化。
在白皮书的第一部分，我们概述了两能级量子系统。在 部分2，我们将可视化这个相位差并观察其后果，并讨论协议和硬件实现。
参考文献和脚注
[1] DiVincenzo, David. 量子计算的物理实现。 https://doi.org/10.48550/arXiv.quant-ph/0002077
[2] 有关该解的更正式推导，包括时间演化算符如何从薛定谔方程中产生，我们建议读者参考任何一本标准量子力学教科书。格里菲斯的《量子力学导论》尤其通俗易懂，广受喜爱，这是有充分理由的。
