이 시리즈에서는 주파수 영역에서 발생하는 피드백 제어에 대한 간략한 소개를 통해 루프를 설계하고 디버깅하기 위한 실용적인 참고 자료를 제공합니다.
1.1 개요
다른 행성에서 헬리콥터를 조종하는 흥분에서부터 전력망과 가정 난방의 필수적인 일상적 응용 분야에 이르기까지 피드백 제어 시스템은 현대 사회에 필요하고 보편적인 부분입니다. 연구 및 산업에서 제어 루프를 사용하면 자동화, 소음 감소, 성능 개선, 불확실성 및 매개변수 변화에 대처할 수 있습니다. 그러나 복잡성과 불안정성에 대한 수반되는 우려도 해결해야 합니다.
이 시리즈의 첫 번째 기사에서는 전달 함수의 정의를 확립하고 정교한 시스템을 모델링하기 위해 제어 루프 블록 다이어그램을 구성할 수 있는 구성 요소를 제공합니다. 파트 2 피드백 제어 시스템을 사용하여 교란을 억제하거나 프로세스 설정점을 추적하는 방법을 보여줍니다. 노이즈가 많은 센서와 관련된 복잡성도 논의합니다. 개방 루프 시스템과 달리 피드백 제어를 받는 장치는 불안정해질 가능성이 있으며 성능과 견고성 사이에 긴장이 있습니다. 궁극적으로 신호 전파 지연은 가장 엄격한 한계를 부과할 수 있습니다. 이러한 문제는 파트 3. 주파수 영역에서 피드백 시스템의 대부분 매개변수는 개방 루프 전달 함수에 연결될 수 있습니다. 파트 4 이 중요한 양을 측정하는 방법을 설명하고 이를 형성하는 데 자주 사용되는 함수 목록을 제공합니다. 파트 5 액추에이터 포화를 피하는 한 가지 방법을 설명하고, 그렇게 하면서 여러 액추에이터의 처리에 유용한 아이디어를 소개합니다. 저희 시리즈는 파트 6 연구와 함께 PID 컨트롤러. 이 공통 제어 아키텍처는 일반적으로 시간 영역 관점에서 고려됩니다. 우리는 보완적인 주파수 영역 표현을 설명합니다.
1.2 왜 주파수 영역인가요?
단일 입력 및 단일 출력(SISO)을 갖는 선형 시불변 동적 시스템은 주로 다음과 같은 형태의 입력/출력 미분 방정식으로 설명됩니다.
\(a_nfrac{d^ny}{dt^n}+ a_{n-1}frac{d^{n-1}y}{dt^{n-1}}+ldots+ a_1frac{dy}{dt}+a_0y= b_mfrac{d^mu}{dt^m}+ b_{m-1}frac{d^{m-1}u}{dt^{m-1}}+ldots+ b_1frac{du}{dt}+b_0u,\).
어디에 u(t)는 입력 함수이고, y(t) 출력 및\(a_i, b_iin mathbb{R}\)은 상수입니다.
이러한 방정식은 직접 풀기 어려울 수 있습니다. 라플라스 변환과 그 속성을 활용하면(부록 참조) A), 순수 대수적 솔루션이 가능한 주파수 영역으로 이동할 수 있습니다.
게다가 주파수 영역에서의 연산은 복잡한 시스템을 구성하고 분석하는 간단한 방법을 제공하며, 폐쇄 루프 안정성과 관련된 개념을 더 쉽게 다루고 이해할 수 있게 해줍니다.
1.3 전달 함수란 무엇인가?
(1.1)의 라플라스 변환을 취하면 다음이 얻어진다.
\((a_ns^n+ a_{n-1}s^{n-1}+도츠+a_1s+a_0)Y(s) = (b_ms^m+ b_{m-1}s^{m-1}+도츠+b_1s+b_0)U(s)\),
여기서 Y(s)와 U(s)는 주파수 영역에서의 새로운 출력 및 입력 함수입니다. 입력 신호에 대한 시스템의 응답만 고려하기 위해, 시스템이 \(t=0^-\)에서 교란되지 않았다고 가정했습니다. 즉, \(y(0^-),dot{y}(0^-),text{etc}=0\)입니다. 또한 t < 0일 때 입력 u(t)가 0이고 \(u(0^-),dot{u}(0^-),text{etc}=XNUMX\)이라고 가정했습니다. 정적 초기 조건을 갖는 이러한 설정은 때때로 영 상태 응답이라고 합니다. 전달 함수 H(s)를 출력과 입력의 비율로 정의합니다.
이 방정식의 또 다른 자주 보이는 형태는 다음과 같습니다.
\(H(s) = frac{N(s)}{D(s)}= K frac{(s-z_1)(s-z_2) ldots(s-z_{m-1})(s-z_m)}{(s-p_1)(s-p_2)ldots(s-p_{n-1})(s-p_n)}\).
분자와 분모의 다항식을 루트 형태로 재배열하는 이 버전은 영점-극점-이득 또는 zpk 표현으로 알려져 있습니다. 시스템의 영점은 N(s) = 0의 루트이고 시스템 극점은 D(s) = 0의 루트입니다.
(1.1)의 계수는 실수이므로 극점과 영점은 실수이거나 복소수 켤레 쌍으로 발생합니다.
전달 함수가 주어지면, 미분 방정식 표현을 사용하여 가능했던 것처럼 임의의 입력에 대한 시스템의 응답을 계산할 수 있습니다. 더 자주, 우리는 전달 함수를 사용하여 정현파 입력에 대한 크기와 위상 모두의 측면에서 정상 상태 응답을 평가합니다. 이 주파수 응답은 s = iω에서 전달 함수를 평가하여 계산할 수 있습니다.
1.4 루프 대수
이 시리즈의 다음 부분에서는 블록 다이어그램을 사용하여 시스템을 표현합니다. 각 블록은 전달 함수를 나타내며 대수적으로 결합하여 임의로 복잡한 시스템을 만들 수 있습니다. 직렬, 병렬 및 덧셈 연결과 같은 몇 가지 기본적인 예가 그림 1.1에 나와 있습니다.
그림 1.1: 복잡한 시스템의 전달 함수는 기본 구성 요소로부터 대수적으로 구성될 수 있습니다. (i) 단일 블록, (ii) 직렬 연결, (iii) 픽오프 포인트, (iv) 합산 노드, (v) 병렬 연결.
부록: 라플라스 변환
일방적인 라플라스 변환 is \(F(s)=int_{0^-}^infty f(t)e^{-st},mathrm{d}t\)
여기에 s = σ + 아이오와 복소 주파수는 다음과 같습니다. σ 및 ω 실제이며 우리는 암묵적으로 그렇게 가정했습니다. f(t) = 0에 대해 티 0. 특이한 하한값 t = 0-, 즉 바로 직전 t = 0은 계산을 단순화하기 위해 사용됩니다. 또 다른 접근 방식은 한계를 다음과 같이 취하는 것입니다. t = 0이지만 입력 함수의 불연속성이 다음 위치에서 발생한다고 주장합니다. t = 0+.
라플라스 변환과 푸리에 변환 간의 관계는 다음과 같이 특징지어질 수 있습니다.
어떤 의미에서는, 푸리에 변환 라플라스 변환의 특수한 경우입니다. σ = 0, 그리고 우리는 이 조건에서 주어진 제어 시스템의 정상 상태 응답을 평가합니다. 단위 단계와 같은 제어 이론의 일부 중요한 함수는 라플라스 변환은 있지만 푸리에 변환은 없습니다.
