안정성 측정
피드백 루프, 특히 전력 전자 장치에서는 시스템이 예상대로 작동하는지 여부를 판단하기 위해 안정성을 특성화해야 합니다. 루프 동작을 측정하면 주파수 교차, 이득 및 위상 여유와 같은 매개변수를 분석하여 안정성을 평가하고, 그에 따라 루프 튜닝 매개변수를 조정할 수 있습니다.
안정성은 일반적으로 주파수 응답 분석기 또는 벡터 네트워크 분석기를 사용하여 보드 선도에서 루프 이득과 위상을 측정함으로써 평가됩니다. Moku:Pro 진동수 응답 분석기 최대 4개의 AC 주입 신호를 테스트 대상 장치(DUT)에 출력하고 동시에 4개의 응답 신호를 입력받아 출력 주입 신호에 대한 이득 및 위상을 그래프로 나타낼 수 있습니다.
루프 이득을 측정하는 가장 전통적이고 간단한 방법은 제어 루프 회로에 침입하여 피드백 경로에 직렬로 연결된 주입 저항에 교란을 주입하는 것입니다. 이 저항의 한쪽은 피드백 루프에 연결되고 다른 쪽은 레귤레이터의 응답에 연결됩니다. 이 두 전압의 비율(출력/입력)을 주파수 응답 분석기에서 분석하여 안정성 평가를 위한 이득 및 위상 여유를 측정할 수 있습니다.
이 방법의 주요 단점은 주입 저항을 삽입하기 위해 제어 루프 회로를 물리적으로 분리해야 한다는 것입니다. 패키지형 IC나 고밀도 PCB와 같이 완전히 밀폐된 시스템처럼 루프에 직접 접근할 수 없는 상황에서는 이러한 작업이 항상 실용적인 것은 아닙니다. 또한, 이미 설계 및 조립된 장치에서 트레이스를 들어 올리거나 부품을 추가하는 것이 불가능한 경우도 많습니다.
물리적 루프 중단을 피하는 또 다른 방법은 폐쇄 루프 회로의 출력 임피던스로부터 위상 여유를 도출하는 것입니다. 비침습적 안정성 측정(NISM)이라고 불리는 이 방법은 출력 임피던스의 크기 및 위상 그래프에서 계산된 품질 계수(Q)를 사용하여 루프의 위상 여유를 계산합니다.
NISM 방법 – 2차 시스템
제어 피드백 루프는 시스템 동작의 가장 중요한 측면(예: 안정성, 감쇠, 과도 응답)을 잘 나타내기 때문에 종종 2차 시스템으로 모델링됩니다. 실제 시스템의 상당수는 기술적으로 더 높은 차수의 시스템이지만, s-평면에서 허수축에 가장 가까운 한 쌍의 복소 켤레 극점에 의해 동작이 좌우되는 경우가 많습니다. 이러한 극점을 지배극점이라고 합니다. 이러한 경우, 시스템을 2차 모델로 정확하게 근사화할 수 있으므로 시스템의 전체적인 동작에 대한 중요한 정보를 잃지 않고 분석을 용이하게 할 수 있습니다. 그림 1은 일반적인 제어 피드백 시스템의 다이어그램을 보여줍니다. 여기서 \(G(s)\)는 플랜트와 컨트롤러의 전달 함수를 나타내고, \(H(s)\)는 피드백 전달 함수를 나타냅니다. \(G(s)\)는 식 1에 정의되어 있습니다. 표준 루프 대수학을 사용하여 폐루프 전달 함수를 식 2와 같이 얻을 수 있습니다.
\(G(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}+V_{out}H(s)}\) (1)
\(\frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{G(s)}{1+H(s)G(s)}\) (2)
2차 시스템의 경우 방정식 1은 방정식 3에 표시된 표준 정규 형식으로 표현될 수 있습니다[1, Eq. (6.29)].
\(G(s) = \frac{\omega_n^2}{s(s+2 \zeta \omega)}\) (3)
여기서 \(\omega_n\)은 고유 진동수이고 \(\zeta\)는 감쇠비입니다.
피드백 전달 함수가 1(단위 피드백)과 같다고 가정하면 폐루프 전달 함수(식 2)는 다음과 같습니다[1, 식(6.30)].
\(T(s) = \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{\omega^2_n}{s^2 + 2 \zeta \omega_n s + \omega_n^2}\) (4)
이는 2차 시스템에 대한 표준 전달 함수 방정식입니다. 이 방정식을 이용하여 시스템의 공진 성능을 나타내는 지표인 품질 계수 Q를 계산할 수 있습니다. 먼저, 방정식 4의 분모에 이차방정식 공식을 적용하여 극점을 구하면 다음과 같습니다.
\(s = -\zeta \omega_n \pm j \omega_n \sqrt{1-\zeta^2}\)
품질 계수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.
\(Q = \frac{\omega}{2 \sigma}\)
여기서 \(\omega\)는 진동 각주파수, 즉 극점 \((\omega_n \sqrt{1-\zeta^2})\)의 허수 부분이고, σ는 진동의 감쇠율, 즉 극점 \((\zeta \omega_n)\)의 실수 부분입니다. 식 5의 실수 부분과 허수 부분을 식 6에 대입하면 다음과 같습니다.
\(Q = \frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{2 \zeta}\)
\(\zeta \ll 1\)일 때,
\(Q \sim \frac{1}{2 \zeta}\)
이제 Q와 감쇠비 사이의 관계를 알게 되었지만, 시스템의 감쇠비를 직접 측정할 수는 없습니다. 하지만 출력 임피던스의 이득과 위상을 측정하여 신호 포락선이 시스템을 통과할 때 발생하는 시간 지연인 군지연(τg)과 같은 파라미터를 얻을 수 있습니다. 군지연은 위상 응답의 음의 기울기로 정의됩니다.
\(\tau_g(\omega) = \frac{d \phi (\omega)}{d \omega}\) (9)
여기서 \( \phi (\omega)\)는 라디안 단위의 위상입니다. 공진 시 위상은 빠르게 변화하므로 공진 시 군지연 신호에서 피크가 나타날 것으로 예상되며, 이를 통해 공진 주파수와 \(\tau_g\)를 구할 수 있습니다.
\(\phi (\omega) = \arg{(T(j\omega))} = \arg{\left( \frac{\omega^2_n}{\omega^2_n – \omega^2 + j 2 \zeta \omega_n \omega} \right) } = -\arctan{\left( \frac{\omega_n \omega}{Q(\omega_n^2 – \omega^2)}\right)}\) (10)
공진 주파수에서, 공진 시 군지연은 감쇠비의 역수에 고유 주파수를 곱한 값과 같다는 것을 수학적으로 증명할 수 있다.
\(\tau_g(\omega) = -\frac{d \phi(\omega)}{d \omega} = \frac{1}{1+\left( \frac{\omega_n \omega}{Q(\omega_n^2 – \omega^2)}\right)}\left( \frac{\omega_n}{Q(\omega_n^2 – \omega^2)} + \frac{2 Q \omega_n \omega^2}{Q^2(\omega_n^2 – \omega^2)^2} \right)\)
\(= \frac{Q \omega_n (\omega_n^2 + \omega^2)}{Q^2(\omega_n^2 – \omega^2)^2 + \omega^2_n \omega^2}\)
\(\tau_g(\omega_n) = \frac{1}{\zeta \omega_n}\) (11)
전달 함수 \(T(j \omega)\)의 크기의 분모 \(D\)를 최소화하는 주파수 \(\omega_{res}\)를 찾으려면 \(D\)에 대해 미분하고 이를 0으로 설정합니다.
\(|T(\omega)|^2 = \frac{\omega_n^4}{(\omega_n^2 – \omega^2)^2 + 4 \zeta^2 \omega_n^2 \omega^2}\) (12)
\(\frac{dD}{d \omega} = \frac{d}{d \omega}[(\omega_n^2 – \omega^2)^2 + 4 \zeta^2 \omega_n^2 \omega^2] = 0\) when \(\omega = \omega_{res}\) (13)
\(\omega_{res} = \omega_n \sqrt{1-2 \zeta^2} \approx \omega_n\) when \(\zeta \ll 1\) (14)
식 8을 식 11에 대입하면 품질 계수, 군지연 및 공진 주파수 사이의 직접적인 관계를 얻을 수 있습니다.
\(Q = frac{|\tau_g(\omega_{res}) \ times \omega_n|}{2} = |\tau_g(f_{res}) \times f_{res} \times \pi|\) (15)
주파수 응답 분석기를 사용하여 이득 및 위상 데이터로부터 그룹 지연과 공진 주파수를 측정하여 Q를 계산할 수 있습니다. 위상 여유를 계산하기 위해 식 13[1, 식 (6.31)]에 있는 알려진 관계를 사용합니다.
\(\phi_m = \arctan{\left( \frac{2 \zeta}{\sqrt{\sqrt{1+4 \zeta^4} -2 \zeta^2}} \right)}\) (16)
식 8을 식 16에 대입하면 Q로부터 위상 여유를 계산할 수 있습니다.
\(\phi_m = \arctan{\sqrt{\frac{1+\sqrt{1+4Q^2}}{2Q^4}}}\) (17)
레귤레이터의 측정된 출력 임피던스로부터 얻은 이득 및 위상 플롯을 사용하여 식 15와 17을 통해 폐루프 시스템의 위상 여유를 계산할 수 있습니다. 출력 임피던스는 제어 루프 회로를 개방하지 않고 측정할 수 있으므로 비침습적인 안정성 평가가 가능합니다.
안정성 평가
제어 시스템의 안정성은 일반적으로 이득 여유와 위상 여유로 나타냅니다. 이득 여유는 불안정성이 발생하기 전에 이득을 얼마나 증가시키거나 감소시킬 수 있는지를 나타냅니다. 그림 2와 같은 보드 선도에서 이득 여유는 위상이 -180˚가 되는 주파수에서 측정한 크기 곡선과 0dB 선(크기 = 1) 사이의 수직 거리입니다.
위상 여유는 시스템이 위상 측면에서 불안정 지점으로부터 얼마나 떨어져 있는지를 나타냅니다. 보드 선도에서 위상 여유는 위상 곡선에서 크기가 1(또는 0dB)이 되는 주파수, 즉 교차 주파수에서의 위상 값 -180˚까지의 수직 거리입니다(그림 2 참조). 안정성을 위해서는 위상 여유가 양수여야 합니다. 실제로 필요한 위상 여유는 시스템 설계에 따라 다르지만, 적절한 안정성을 위한 최소값은 일반적으로 약 30˚입니다. 일반적으로 위상 여유가 클수록 안정성이 높아지지만, 지나치게 큰 여유는 응답성을 저하시킬 수 있으며, 이는 교차 주파수를 통해 추가적으로 평가할 수 있습니다.
NISM과 같은 실제 측정 환경에서 출력 임피던스는 위상 여유를 근사적으로 나타내는 데 사용되지만 이득 여유는 제공하지 않습니다. 위상 여유는 일반적으로 안정성 평가의 주요 지표로 사용되는데, 이는 시스템의 감쇠 특성에 대한 정보를 직접적으로 제공하고 과도 응답 성능에 대한 충분한 통찰력을 제공하기 때문입니다. 궁극적으로 과도 응답 성능은 안정성의 핵심 기준입니다.
실험 설정
전통적인 안정성 측정 방법:
그림 3은 전통적인 안정성 측정을 위한 장비 구성도를 보여줍니다. 평가 대상 장치는 Picotest사의 전압 조정 보드(VRTS 1.5)입니다. 이 조정 보드는 DC 전원(7VDC)으로 전원을 공급받습니다. 보드 상단에는 주입 저항 양단에 두 개의 보드 주입점이 있습니다. Moku 주파수 응답 분석기는 AC 신호를 주입 변압기(Picotest J2101A)로 보내 주입 저항 양단에 정현파 섭동 신호를 인가합니다. 주파수 응답 분석기의 두 입력은 각각 주입 전후 응답에 해당하는 보드 주입점에 연결됩니다.
레귤레이터 보드에는 100μF 커패시터 두 개와 출력 부하 저항을 제어하는 세 개의 온보드 스위치가 있습니다. 커패시터 하나는 알루미늄 전해 커패시터이고, 다른 하나는 탄탈 커패시터입니다. 커패시터 재질이 다르기 때문에 등가 직렬 저항(ESR)이 크게 다릅니다. 알루미늄 전해 커패시터는 탄탈 커패시터에 비해 ESR이 훨씬 높습니다. 출력 부하 저항은 기존 안정성 측정에서는 25mA 부하 전류를 얻기 위해 활성화되었고, NISM(비침습적 안정성 측정)에서는 전류 주입기가 이미 25mA의 부하 전류를 소모하므로 비활성화되었습니다. 각 커패시터를 개별적으로 연결하여 하나를 활성화하고 다른 하나를 비활성화하는 방식으로 측정을 수행했습니다. 이러한 측정은 기존 안정성 측정과 비침습적 안정성 측정 모두에 대해 수행되었습니다.
그림 3: 기존 안정성 측정 시스템 구성도. Picotest VRTS 1.5 레귤레이터 보드는 DC 전원 공급 장치에서 7VDC를 입력받습니다. 주파수 응답 분석기에서 나온 AC 신호는 Moku:Pro의 출력 1을 통해 출력되어 주입 변압기(Picotest J2101A)의 입력으로 들어갑니다. 주입 변압기 출력의 섭동 신호는 레귤레이터 보드의 보드 주입점에 주입됩니다. Moku:Pro의 입력 1과 2는 각각 보드 주입점 중 하나에 연결됩니다.
주파수 응답 분석기의 설정은 그림 4와 같이 구성되었습니다. 입력 2의 신호를 입력 1의 신호로 나누어 주입 저항 후와 전의 전압 비율을 그래프로 나타냈습니다. 주파수 응답 분석기는 주입 저항에 섭동 신호를 주입하면서 동일한 주입 지점에서의 이득 및 위상 데이터를 그래프로 표시합니다. 진폭은 -35dBm으로 설정했는데, 진폭이 더 크면 레귤레이터의 응답이 비선형적으로 변하고 이득 및 위상 곡선이 왜곡되었기 때문입니다. 따라서 응답이 더 이상 진폭의 영향을 받지 않을 때까지 주입 신호의 진폭을 줄였습니다.
비침습적 안정성 측정
그림 5는 비침습적 안정성 측정을 위한 장비 구성도를 보여줍니다. 동일한 전압 조정 보드가 사용되며, 동일한 DC 전원 공급 장치(7VDC)로 전원을 공급받습니다. 주파수 응답 분석기의 출력 1에서 나오는 교란 신호는 전류 주입기(Picotest J2111B)의 입력으로 전달되며, 이 전류 주입기는 조정 어댑터(Picotest J2171A)를 통해 표준 벽면 콘센트 전압(120VAC)으로 전원을 공급받습니다.
전류 주입기의 출력은 레귤레이터 보드의 출력에 연결되는 섭동 신호입니다. 레귤레이터 출력은 임피던스를 측정하는 곳이기도 합니다. 임피던스는 출력 전압을 주입기 출력의 전류로 나누어 계산합니다. 이 측정을 위해 주파수 응답 분석기의 입력 1은 전류에, 입력 2는 레귤레이터 출력 전압에 연결합니다. 아래 그림 6은 레귤레이터 출력 임피던스를 측정하기 위한 주파수 응답 분석기 설정값을 보여줍니다. NISM 측정의 진폭은 기존 방식보다 높습니다. 이는 군지연으로 인한 공진을 정확하게 감지하기 위해 충분히 높은 SNR을 확보하려면 섭동 신호가 충분히 커야 하기 때문입니다.
결과
그림 7과 8은 각각 탄탈륨 및 알루미늄 전해 콘덴서를 활성화한 기존 안정성 측정 설정(그림 3 참조)에 대한 이득 및 위상 플롯을 보여줍니다. 각 플롯은 Moku 앱의 주파수 응답 분석기에서 matfile로 내보내 MATLAB에서 플롯했습니다.
각 그래프에서 크기 그래프의 교차 주파수를 찾아 위상 여유를 결정합니다. 이 주파수는 크기가 단위 이득 값(0dB)을 통과하는 주파수입니다. 이 교차 주파수에서의 위상 값이 위상 여유입니다.
탄탈륨 커패시터는 6.17kHz의 교차 주파수와 33.28˚의 위상 여유를 가졌습니다. 알루미늄 전해 커패시터는 8.46kHz의 더 높은 교차 주파수를 가지므로 71.96˚의 더 높은 위상 여유를 나타냈습니다. 알루미늄 전해 커패시터의 높은 ESR(등가 직렬 저항)은 ESR로 인한 영점을 더 낮은 주파수로 이동시켜 이득 교차점 이전에 위상 우위를 확보하는 효과를 가져왔습니다. 이는 또한 크기 응답의 기울기를 감소시켜 루프가 더 높은 주파수에서 단위 이득을 통과하도록 했습니다.
그림 9와 10은 각각 탄탈륨 및 알루미늄 전해 콘덴서를 활성화했을 때 제어 루프의 크기 및 위상 응답을 보여줍니다. 이러한 측정은 그림 5에 나타낸 장치를 사용하여 비침습적으로 수행되었습니다.
그림 9의 크기 그래프에서 5.52kHz에 공진 피크가 나타납니다. 위상 데이터의 경우, 각주파수에 대한 위상의 음의 미분을 취하여 군지연을 계산하고 이를 위상 데이터와 겹쳐서 표시했습니다. 군지연의 피크는 공진 피크와 동일한 주파수에서 발생하는데, 이는 공진 부근에서 위상 변화가 더 빠르다는 예상과 일치합니다. 공진 시 군지연은 94.94마이크로초입니다. 이러한 공진 주파수와 공진 시 군지연 값을 이용하여 식 15로부터 품질 계수를 계산하면 1.6454가 됩니다. 이 품질 계수 값을 식 17에 대입하면 위상 여유는 약 33.67˚가 됩니다.
그림 10에 나타낸 알루미늄 전해 콘덴서의 크기 및 군지연 플롯은 뚜렷한 공진 피크를 나타내지 않습니다. 이는 시스템이 충분히 감쇠되어(위상 여유 약 >70˚) 안정적임을 의미합니다. 이러한 가정은 위상 여유와 감쇠비 사이의 관계(식 16 참조)가 특정 위상 여유 값까지 선형 영역을 가지기 때문에 성립합니다. 이 선형 영역은 다음과 같이 근사할 수 있습니다.
\(\zeta \approx \frac{\phi_m}{100} \) (18)
이 영역이 비선형이 되는 위상 여유는 임계 감쇠 경계이며, 공진 피크가 사라지는 지점입니다. 주파수 영역에서 2차 전달 함수(식 12)의 크기의 국소 최대값을 찾으면 식 14를 얻습니다. 이를 0으로 설정하면 감쇠비는 0.707이 됩니다. 이 값은 대략 70˚의 위상 여유에 해당합니다. 따라서 공진 피크가 없으면 위상 여유가 약 70˚ 이상이므로 루프가 잘 감쇠되어 매우 안정적이라고 가정할 수 있습니다.
표 1은 각 안정성 측정 방법으로 측정한 위상 여유 값을 비교한 것입니다. 각 방법의 값들은 전반적으로 매우 잘 일치합니다. 탄탈 콘덴서를 사용한 NISM에서 얻은 위상 여유는 기존 안정성 측정 방법으로 얻은 위상 여유보다 불과 0.39˚ 높았습니다. NISM에서 알루미늄 전해 콘덴서의 경우 명확한 공진 피크가 나타나지 않아 기존 방법으로 측정한 위상 여유 값과 정확히 비교할 수는 없습니다. 그러나 공진 피크가 나타나지 않는 범위(>70˚)를 가정하면 기존 방법으로 측정한 71.96˚의 위상 여유 값과 일치합니다.
제품 개요
NISM은 회로를 물리적으로 차단하지 않고 루프 안정성을 평가하는 효과적인 방법입니다. 이 응용 노트에서는 Moku:Pro의 주파수 응답 분석기를 사용하여 기존 안정성 측정 방식과 NISM을 통해 얻은 위상 여유 결과를 비교했으며, 두 결과가 거의 동일함을 보여주었습니다. NISM은 회로를 차단하는 대신 회로의 출력 임피던스를 이용하여 그룹 지연의 피크 값을 기반으로 공진 시 Q 인자를 결정하고, 이 관계를 이용하여 위상 여유를 안정적으로 추정합니다.
또한, 서로 다른 ESR 값을 가진 커패시터가 레귤레이터 보드에 미치는 영향을 평가했습니다. 그 결과, ESR 값이 높을수록 임피던스 기울기가 완만해지고 그에 따른 이득 주파수 교차점이 이동하여 위상 여유가 증가하는 것을 확인했습니다.
전반적으로 NISM은 제어 루프 안정성 분석을 위한 신뢰할 수 있고 효율적이며 비침습적인 기법임이 입증되었습니다. 침습적인 측정을 피할 수 있다는 편리함 덕분에 전력 전자 분야에서 설계 검증 및 문제 해결 모두에 유용한 도구입니다. 그러나 고려해야 할 몇 가지 한계점도 있습니다. NISM은 제한된 위상 여유 범위 내에서 루프 안정성에 대한 신뢰할 수 있는 추정치를 제공합니다. 기존 방법은 제어 루프를 개방해야 하지만, NISM으로는 달성할 수 없는 보다 포괄적인 안정성 평가를 가능하게 합니다. 따라서 더 큰 위상 여유를 분석해야 하는 시스템에는 기존 방법이 더 적합합니다. NISM은 특히 위상 여유가 작은 시스템이나 루프를 개방하는 것이 비현실적이거나 바람직하지 않은 환경에서 유리합니다.
참고자료
[1] GF Franklin, JD Powell, 및 A. Emami-Naeini, 동적 시스템의 피드백 제어, 8판, 글로벌 에디션. Pearson, 2019.
